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f(x)在x=x0处可导可以推出什么 – 28百科知识网-pg麻将胡了模拟器

f(x)在x=x0处可导可以推出什么

高数中有些证明确实让人头疼。有些结论,直观上看,似乎一眼就能明白,甚至不需要图像辅助,就能想当然地理解。这些直观的理解并不够严谨,真正要作为定理,必须进行严格的证明。比如关于凸函数的极值点规律:上凸函数没有极小值点,下凸函数没有极大值点。从凸函数的图像来看,如果我们仔细观察并发挥想象力,确实可以得到这个结论。

要证明这个问题,我们得依据凸函数的定义。虽然描述起来有些复杂,但老黄会尽量用通俗易懂的方式解释。好了,不多说,我们直接进入主题。

假设f是在区间i上的严格凸函数。我们要证明的是:如果f是上凸的,那么在i上它就没有极小值点;如果f是下凸的,那么在i上它就没有极大值点。

证明过程如下:

如果f是上凸的,假设在i上存在一个极小值点x0。那么,在x0的邻域内,f的值都大于或等于f(x0)。我们在左右邻域的中点上取两个点x1和x2,然后假设存在一个小于1的正数λ,使得x0可以表示为λx1加上(1-λ)倍的x2。这里λ的值我们取为1/2,使得推理更为直观。

根据凸函数的定义和f的凸性,我们有f(x0)应该大于λ倍的f(x1)加上(1-λ)倍的f(x2)。由于x0是极小值点,我们知道f(x1)和f(x2)都大于或等于f(x0)。这就产生了矛盾。f在i上不存在极小值点。

同理,如果f是下凸的,我们也可以证明f在i上不存在极大值点。

这个证明过程以凸函数的定义为依据,通过严格的逻辑推理,得出了结论。相对于直观的图像理解,这种证明方式更加严谨,更具有说服力。

老黄是为了证明“凸函数极值点的唯一性”才研究这个定理的。有兴趣的小伙伴们也可以尝试证明“凸函数极值点的唯一性”。如果无法证明,记得关注老黄的后续文章哦。


f(x)在x=x0处可导可以推出什么

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