关于这道关于弦切角的例题，其涉及了多个基本图形的性质，因此较为复杂。在此，我们先分享一道具体的例题。
例41：如图4-117，已知ab是半圆的直径，mn与半圆在c点相切，cd⊥ab，ae⊥mn，bf⊥mn。求证：(1)ce=cd=cf；(2)cd^2=ae·bf。
分析：
由于ab是半圆的直径，我们可以利用半圆上的圆周角性质来开展证明。观察图形，我们发现要证明ce=cd=cf，由于cd⊥ab且mn与半圆相切于c，可以利用弦切角的性质。
联结ac和bc（如图4-118），可以得到∠acb=90°。由于要证明cd=cf，且已知∠cdb=∠cfb=90°，这说明cd和cf是到∠dbf的两边的距离相等的点，因此c位于∠dbf的平分线上。
接下来，考虑nc与半圆的相切关系，利用弦切角的性质可以证明∠bcf=∠bac。为了证明△cbd和△cbf全等，我们需要证明∠bcd=∠bac。由于cd⊥ab，并且已知∠bca=90°，我们可以证明∠bcd=∠bac=∠bcf，进而证明cd=cf。
同样地，我们可以证明cd=ce。在证明过程中，如果直接考虑cd和cf是两条具有公共端点的相等线段，可以添加等腰三角形的基本图形来进行证明。联结df后（如图4-119），应证∠cdf=∠cfd。由于∠bdc=∠bfc=90°，我们需要证明∠bdf=∠bfd。由于c、d、b、f四点共圆，可以联结bc（如图4-120），进而证明∠bdf=∠bcf和∠bfd=∠bcd。这样就转化为了要证明∠bcf=∠bcd的问题。
在证明过程中，由于△cdf和△cde是两个顶角互为邻补角的等腰三角形，它们可以组合形成一个直角三角形斜边上的中线的基本图形（如图4-121）。为了证明cd=cf，也可以转化为证明∠cdf=∠cfd。由于c、d、b、f四点共圆，我们可以联结oc（如图4-122），利用切线的性质以及等腰三角形的性质来证明∠cbf=∠cbd。再根据ab是半圆的直径这一条件，联结ac后可以得到∠acb=90°，进而完成分析。
这道题目在考察弦切角、等腰三角形、直角三角形等知识点的也考察了学生对基本图形性质的运用和推理能力。通过不同的思路和方法，我们可以得到相同的结论，这也体现了数学的多样性和趣味性。
