高观点下的初等数学（5）——二次曲线系的应用
作者：林根数学
今天，我们来探讨一下二次曲线系的一个定理及其应用。
关于二次曲线系，有以下重要定理：
定理：已知两条直线li≡aix biy ci=0(i=1,2)和一条二次曲线f(x,y)=0。那么含有一个参数λ的方程f(x,y) λl₁l₂=0，表示经过两直线与二次曲线的交点的二次曲线系。
证明过程如下：由于直线li=0(i=1，2)与二次曲线f(x,y)=0的交点坐标满足上述方程，因此该曲线确实经过这些交点。该方程的次数不超过二次，因此它是一个单参数的二次曲线系。
这个定理在解决高考题或数学竞赛题时非常有用。例如：
题目：已知a、b为椭圆e： x²/a² y²=1 （a>1）的左右顶点，g为上顶点。p为直线x=6上的动点，pa与椭圆的另一交点为c，pb与椭圆的另一交点为d。求e的方程并证明：直线cd过定点。
详细解答如下：
（1）根据题意，我们可以得到椭圆e的方程。
（2）证明部分：设p(6,y0)，则直线ap的方程为…联立ap的方程与椭圆方程，我们可以得到关于c点的坐标的方程。设cd与x轴的交点为(m,0)，并将坐标系平移，设椭圆e的新方程为…利用二次曲线系的性质，我们可以得到cd过定点(3/2,0)。
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1.《高考数学全观》（上、下）（高考第一轮）教案及学案
2.《高考数学重观》（高考第二轮）教案及学案
3.《清北数学高观》教案及学案
4.《中考数学微观》教案及学案
5.人教版必修1—5教案及学案
练习题：参考1990年全国高中联赛冬令营选拔。在筝形abcd中，经ac、bd的交点o任作两条直线，分别交于各边于e、f、g、h点，求oi=oj。
